Resürjans Teorisi Serisi — 1. Bölüm Tarihsel Süreç

1. Bu Seride Sizi Neler Bekliyor?

Bu seri boyunca resürjans teorisini anlayabilmek için gerekli matematiksel altyapıyı vermek öncelikli amacımız. Seri boyunca diferansiyel denklemlerin sınıflandırılması, pertürbasyon teorisi, kompleks analiz, asimptotik analiz gibi konularda incelemeler yapacağız. Bu ilk derste resürjans teorisinin ne olduğuna ve tarihi gelişimine bakacağız. En nihayetinde hiçbir teori vakumda ortaya çıkmamıştır.

Ders içerisinde tırnak içinde kavramlar göreceksiniz. Bu kavramları dersimizin ilerideki serilerinde matematiksel olarak açacağız ve uygun yerlerde fiziksel örnekler vereceğiz. Sözü uzatmadan dersimize başlayalım.

2. Resürjans Teorisi Nedir?

Aslında resürjans teorisinin geliştirilmesindeki ilk kilometre taşını 1838 yılında George Biddell Airy atmıştır. Peki nedir bu resürjans teorisi?

Fizik yaparken kullandığımız matematiksel modellerde diferansiyel denklemler veya integral denklemler karşımıza çıkar. Bu denklemlerin "seri çözümleri" sıklıkla ıraksak sonuçlar verir. O halde, bu diferansiyel denklem düzgün sonuç vermiyor deyip çöpe mi atmak gerekir? Cevap tabii ki hayır.

Seriler konusu henüz sağlam matematiksel temellere oturmamışken, ıraksak serileri manipüle ederek anlamlı sonuçlar elde etmeye çalışan bir bilim insanımız var: Leonhard Euler (1707-1783). Çoğu insanın Srinivasa Ramanujan (1887-1920) ile duyduğu $1+2+3+\cdots=-\frac{1}{12}$ ifadesini ilk fark edenlerden biri Euler'dir.

Hemen konuyu toparlayıp, bu ıraksak çözümler için resürjans bize ne söylüyor, özetleyelim. Resürjans teorisine göre çözümün ıraksak olmasının nedeni düzlemdeki "tekillik" veya tekillikler. Resürjans teorisinin iddiası, tekilliklerden gelen katkıları da dahil ettiğimizde, fiziksel sonuçları elde edebileceğimizdir.

3. George Biddell Airy ve Gökkuşağı

1835 ve 1881 yılları arasında İngiliz kraliyet astronomu olarak görev yapan George B. Airy, teleskoplardan elde edilen görüntülerde gerçekleşen saçaklanma (fringe) olayının bir benzerini gökkuşağında fark etmiştir. Eğer gökkuşağındaki bu küçük kuşak (supernumerary rainbow) olayını açıklayabilirse, teleskoptaki görüntüyü de netleştirebileceğini düşünüyordu.

Airy, Thomas Young'ın 1802'de yayınladığı henüz görece yeni olan ışığın dalga teorisini kullanarak gökkuşağı oluşumunu modellemeyi başardı [1].

$$\operatorname{Ai}(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \exp\left\{i\left( \frac{t^3}{3} + xt \right)\right\} dt. \tag{1}$$

Bu integral denklemi veren diferansiyel denklem ise Airy diferansiyel denklemi olarak bilinmektedir:

$$\frac{d^2y}{dx^2} = xy. \tag{2}$$

Ancak bir problem vardı. Elde ettiği integral denkleminde $t$'nin büyük değerleri için integrand çok ciddi şekilde titreşim (osilasyon) yapıyordu. Bu denklemi nasıl çözebileceğini Augustus De Morgan'a danıştı. De Morgan (1806-1871) ise yakınsak serileri kullanarak çözüm yapmasını tavsiye etti.

Fakat Şekil 2'de de görüldüğü gibi yakınsak serilerle çözüm yaptığında ilk saçak 19. terimde ancak elde ediliyordu. Dolayısıyla yakınsak serilerle küçük kuşakları istediği gibi inceleyemedi. Peki De Morgan neden yakınsak seri tavsiye etmişti? Çünkü matematik alanının önde gelen isimlerinden Niels Henrik Abel (1802-1829) ıraksak seriler için şeytan icadı demiş ve kullanılmasına şiddetle karşı çıkmıştı [2].

1850'lerde ıraksak serileri kullanarak çok büyük hassasiyetle küçük kuşakları hesaplayan o cesur bilim insanı George Stokes idi.

4. George Stokes ve Iraksak Seriler

George Stokes (1819-1903) ıraksak serileri kullanarak elindeki denklemi incelediğinde serinin bir terime kadar yakınsak davrandığını ve o terimden sonraki terimlerin üstel olarak artarak ıraksadığını farketti. Akıllıca bir kesme uygulayarak serinin en son yakınsak teriminden sonrasını atmıştı. Böylece 5 terim gibi kısa bir kısmi toplam ile Şekil 3'te de görülebileceği gibi gerçeğe çok yakın bir sonuç elde etti [3].

Stokes'un çözümü küçük kuşakları o dönemin teknolojisine göre çok hassas şekilde veriyordu. Amacına ulaşan her bilim insanı gibi mutlu olması gerekirken Stokes, grafiğin sıfır noktasında patlamasına takılmıştı. Dahası bir denkleme ait çözümün pozitif eksende farklı negatif eksende farklı olması Stokes'u şaşırtmıştı. Stokes bu konuyu üç ayrı çalışmayla (1857, 1889, 1902) tamamladı. Fonksiyonun farklı bölgelerde farklı temsil edilmesinin nedeninin düzlemde "Stokes çizgisi" adı verilen ışınlar olduğunu farketmiştir. Çözümlerin bu çizgilerden geçerken karakter değiştirdiğini gözlemlemiştir. Bu değişikliğe, "Stokes sıçraması" veya "Stokes süreksizliği" adı verilir.

Şimdi biraz işin matematiğine girelim ve Airy diferansiyel denklemini çözmeye çalışalım.

5. Airy Diferansiyel Denkleminin Çözümü - 1. Kısım

Bu kısımda Airy diferansiyel denklemine çözüm arayacağız. Bir aşamada çözümü tamamlayabilmek için asimptotik analiz'den bir teknik öğrenecek ve sonrasında çözüme devam edeceğiz.

Daha önce de bahsettiğimiz gibi Airy diferansiyel denklemi aşağıdaki gibidir:

$$y'' = xy.$$

Bu tür bir diferansiyel denklemi çözmek için farklı yöntemler mevcut. Ancak öğretici olması nedeniyle Fourier dönüşümü ile bu diferansiyel denkleme çözüm arayalım.

Daha önce görmemiş olanlar için Fourier dönüşümü temel olarak konum uzayı ile momentum uzayı arasında geçiş yapmayı sağlayan bir dönüşümdür. Dolayısıyla bu dönüşüm sonucunda çözülen denklemi tekrar konum uzayı formuna çevirmek gerekir. Bunun içinse ters Fourier dönüşümü uygulamamız gerekir. Bu dönüşümleri ilk defa duyanlar için kısaca tanımlarını aşağıda yazalım:

$$Y(k) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int\limits_{-\infty}^{\infty} dx \ e^{-ikx} \ y(x), \tag{3}$$ $$y(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int\limits_{-\infty}^{\infty} dk \ e^{+ikx} \ Y(k), \tag{4}$$

Tanımları da verdikten sonra yapmamız gereken $\frac{d^2y}{dx^2}$ ve $xy$ ifadelerinin Fourier dönüşümlerini bulmaktır. Fourier dönüşümü tanımının $k$'ye göre türevini alırsak elde edeceğimiz dönüşüme bir bakalım.

İntegraldeki tek $k$'ye bağlı kısım üstel ifadedir. Dolayısıyla türev işlemcisi sadece üstel terim ile konuşur.

$$\frac{dY(k)}{dk} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int\limits_{-\infty}^{\infty} dx \ e^{-ikx} \ [-ix y(x)], \tag{5}$$

İntegralin içindeki $xy(x)$ ifadesi aradığımız dönüşümdür. Dolayısıyla denklemin sağ tarafının sonucunu bulduk. Şimdi sol tarafına odaklanalım. Aradığımız ifadeyi integralin içine yazıp iki kere parçalı (kısmi) integrasyon uygularsak:

$$\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int\limits_{-\infty}^{\infty} dx \ e^{-ikx} \ y''(x) = -\frac{k^2}{\sqrt{2\pi}} \int\limits_{-\infty}^{\infty} dx \ e^{-ikx} \ y(x) = -k^2 Y(k), \tag{6}$$

ifadesini elde ederiz. Öyleyse elimizdeki ikinci mertebeden diferansiyel denklem, basit birinci mertebeden diferansiyel denkleme dönüşmüş oldu.

$$-k^2 Y = i \frac{dY}{dk}. \tag{7}$$

Bir fizikçi gibi yaklaşıp $Y$ ve $dk$'nın yerlerini değiştirirsek (değişkenlere ayırma yöntemi) elimize kalkülüs 1 seviyesi bir problem kalmış olur. Basitçe çözersek aşağıdaki sonucu elde ederiz:

$$ik^2 dk = \frac{dY}{Y} \quad \Rightarrow \quad Y(k) = A \exp\left\{i\frac{k^3}{3}\right\}. \tag{8}$$

Şimdi denkleminin çözümünü konum uzayına taşımak için ters Fourier dönüşümü uygulayalım.

$$y(x) = \frac{A}{\sqrt{2\pi}} \int\limits_{-\infty}^{\infty} dk \ \exp\left\{+i\left(\frac{k^3}{3}+kx\right)\right\}. \tag{9}$$

Dikkat edilirse (1) ve (9) aynı integranda sahiptir. Dolayısıyla diferansiyel denklemden yola çıkarak Airy fonksiyonunun integral temsilini bulmuş olduk. Bu integral denkleminin çözümü için "asimptotik analiz" ve "kompleks analiz" bilgisi gerekmektedir. O nedenle bu çözüme kısa bir ara verip gerekli önbilgileri tamamlayalım.

6. Kompleks Analize Kısa Bir Bakış: Euler Özdeşliği

Bir konunun başındayken sonu hakkında bilgi edinmek bazen heves kaçırıcı olabilir. Ancak konu matematik olduğunda bu bir hedef oluşturduğu için çok faydalı olabilmektedir. O nedenle Euler özdeşliğini vererek başlayalım:

$$e^{i\theta} = \cos{\theta} + i \sin{\theta}. \tag{10}$$

Matematiksel fizik veya kompleks analiz dersi almış öğrenciler bu eşitliği ve ispatını bilirler. Henüz bu derslerden birisini almamış olan okurlarımız için kısaca kompleks analizin temel kavramlarını açıklayalım ve bu özdeşliği kanıtlayalım. Bu dersleri almış okurlarımız dilerlerse §7 Asimptotik Analize Kısa Bir Bakış'ne geçebilirler.

Dersimizin ana amacı kompleks analiz öğretmek olmadığı için burada en temel ve yapacağımız işlemler için önemli kavramlardan bahsedip devam edeceğiz.

Hepimiz eğitim hayatımızın bir noktasında sanal (imajiner) sayı ($i = \sqrt{-1}$) ile tanışmışızdır. Genel olarak karmaşık sayılar $z$ ve karmaşık sayılar kümesi ise $\mathbb{C}$ ile gösterilir. Karmaşık sayılar kümesi ve bir karmaşık sayı aşağıdaki gibi tanımlanır:

$$\begin{aligned} &\mathbb{C}=\{x+iy: \ \ x,y \in \mathbb{R}\}, \\ &z=x+iy \in \mathbb{C}. \end{aligned} \tag{11}$$

$i$ ile çarpma işleminde birkaç tekrar (iterasyon) yapılırsa hızlıca görülebilir ki her dört çarpımda bir ilk başlangıca dönülmektedir.

• $i^1=i$
• $i^2=-1$
• $i^3=-i$
• $i^4=1$

Aslında bir sayıyı $i$ ile çarpmak, Şekil 4'te de görüldüğü gibi düzlemde $90^\circ$ dönmeye karşılık gelir. Öğretici bir örnek olması adına grafikte, $z=1+2i$ alınmıştır. $iz=-2+i$'nin $z=1+2i$'ye dik olduğunu göstermek okuyuculara egzersiz olarak bırakılmıştır.

Bu temel özelliklerden sonra hızlıca Euler özdeşliğinin ispatına geçelim. Bunun için kalkülüs 1 dersinde öğrendiğimiz Taylor/Maclaurin serilerini kullanacağız. Hızlıca hatırlarsak:

$$\begin{aligned} & e^x = \sum_{n \geq 0} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \cdots, \\ & \cos{x} = \sum_{n\geq 0} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \cdots, \\ & \sin{x} = \sum_{n\geq 0} \frac{(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \cdots. \end{aligned} \tag{12}$$

Yukarıdaki eşitlikler biraz incelendiğinde $\cos{x} + \sin{x}$'in işaret ($\pm$) farklarıyla $e^x$'e çok benzediği görülebilir. O halde $e^{i\theta}$, $\cos{\theta}$ ve $\sin{\theta}$ için seri açılımlarını yapıp, işaret farklarının $i$'nin kuvvetleriyle giderilip giderilmediğine bakalım:

$$\begin{aligned} & e^{i\theta} = \sum_{n \geq 0} \frac{(i\theta)^n}{n!} = 1 + i\theta - \frac{\theta^2}{2!} - i \frac{\theta^3}{3!} + \frac{\theta^4}{4!}+ \cdots, \\ & \cos{\theta} = \sum_{n\geq 0} \frac{(-1)^n \theta^{2n}}{(2n)!} = 1 - \frac{\theta^2}{2!} + \frac{\theta^4}{4!}+\cdots, \\ & \sin{\theta} = \sum_{n\geq 0} \frac{(-1)^{n}\theta^{2n+1}}{(2n+1)!} = \theta - \frac{\theta^3}{3!} + \cdots. \end{aligned} \tag{13}$$

Yukarıdan da çok net görülebileceği gibi, terim terim incelendiğinde Euler özdeşliği elde edilmektedir. Böylece:

$$e^{i\theta} = \cos{\theta} + i \sin{\theta}.$$

Bu kısmı tamamlamadan son bir not verelim. Eğer $\theta=\frac{\pi}{2}=90^\circ$ seçilirse, Euler özdeşliği $e^{i\frac{\pi}{2}} = i$ gelir. Daha önce bir sayıyı $i$ ile çarpmak $90^\circ$ dönmeye karşılık gelir demiştik. O halde bir sayıyı $e^{i\theta}$ ile çarpmak, $\theta$ kadar dönmeye karşılık gelecektir. Örnek olarak $z=3+4i$ ve $z\exp{\left[i\frac{37\pi}{180}\right]}$ için grafiği Şekil 5'te bulabilirsiniz. Grafikteki iki vektör arasındaki açının $37^\circ$ olduğunu göstermek yine okuyuculara bırakılmıştır.

7. Asimptotik Analize Kısa Bir Bakış: Durağan Faz Yöntemi

Öncelikle asimptotik analiz kısaca ne demek açıklayarak başlayalım. Asimptotik analiz kabaca elimizdeki karmaşık bir integral denklemin çok büyük veya çok küçük değerlerde nasıl davrandığını anlamak için çözüm sürecini kolaylaştıran matematiksel bir tekniktir. Dolayısıyla, asimptotik çözüm yaparken, çözümün incelendiği koşulların da belirtilmesi gerekmektedir.

$g(k)$ ve $\phi(k)$ bütün $k \in [a,b]$ için "iyi huylu" reel değişkenli reel fonksiyonlar olmak üzere elimizde aşağıdaki formda bir integral denklemi olsun:

$$I(t) = \int_{a}^{b} dk \ g(k) e^{it \phi(k)}. \tag{14}$$

§6 kısmında işlediğimiz gibi Euler özdeşliği gereği $e^{it \phi(k)} = \cos{[t \phi(k)]} + i \sin{[t \phi(k)]}$ olarak yazılabilir. Öyleyse, $t$ büyüdükçe titreşim (osilasyon) sürat kazanır. Dolayısıyla, $t$'nin büyük olduğu durumda fazın (üstel ifadenin) durağan ($\phi'(k)=0$) olduğu değerin komşuluğu haricindeki aralıklardan katkı gelmeyecektir. Bu durumu farklı $t$ değerleri, $\phi(k)=k^2$, $a=0$ ve $b=1$ için Şekil 6'da daha somut bir şekilde görebiliriz.

Dolayısıyla, $\phi(k)$ için $\phi'(k)=0$ şartını sağlayan $k_0$ etrafında Taylor açılımı yaparsak:

$$\phi(k) = \phi(k_0) + \frac{\phi''(k_0)}{2}(k-k_0)^2 + \mathcal{O}((k-k_0)^3), \tag{15}$$

Burada ilk iki terim ile yakınsak bir çözüm yapmak istersek elimizdeki denklem aşağıdaki formu alır:

$$I(t) \approx e^{it\phi(k_0)} \int_{a}^{b} dk \ g(k) e^{it\frac{\phi''(k_0)}{2}(k-k_0)^2}. \tag{16}$$

$e^{it\phi(k_0)}$ terimi $k$ değişkeninden bağımsız olduğu için dışarı çıkar. Ayrıca integralimiz artık bir Gauss tipi integrale indirgenmiş oldu. Ancak dikkat edilmesi gereken nokta sınırlarımız henüz $[0,\infty)$ veya $(-\infty,+\infty)$ değil. Ayrıca henüz bu aşamada $t$'nin yüksek değerli olması varsayımını kullanmadık.

O halde Gauss tipi integrali daha basit hale indirgemek için ilk aklımıza gelen Kalkülüs 1 bilgisini uygulayalım: değişken değiştirme. Eğer $u=(k-k_0)\sqrt{t}$ seçersek Gauss-yen çekirdek (kernel) normalize olur. Bu aşamada $t$'nin çok büyük ($t \to \infty$) olduğu varsayımımızı kullanırsak integralimiz $(-\infty,+\infty)$ aralığına dönüşecektir. Bununla birlikte $g(k)$ sadece $k=k_0$ civarında katkı vereceği için $g(k) \approx g(k_0)$ alınabilir. Böylece orijinal integralimizin asimptotunu elde etmiş oluruz.

$$I(t) \sim \frac{e^{it \phi(k_0)} g(k_0)}{\sqrt{t}} \int_{-\infty}^{+\infty} du \ e^{i\frac{\phi''(k_0)}{2}u^2}, \quad t \to \infty. \tag{17}$$

Bu aşamada artık elimizde tam bir Gauss integrali var ve kolayca aşağıdaki sonucu bulabiliriz.

$$I(t) \sim \sqrt{\frac{2\pi}{t |\phi''(k_0)|}} g(k_0) e^{i\left(t \phi(k_0) \pm \frac{\pi}{4}\right)}, \quad t \to \infty. \tag{18}$$

Bütün bu kavramları anlatma sebebimiz olan Airy integral denklemini (1) çözmeye geçebiliriz.

8. Airy Diferansiyel Denkleminin Çözümü - 2. Kısım

Uzun bir ara verdiğimiz için Airy integral denklemini hatırlayarak başlayalım:

$$\operatorname{Ai}(x) = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\infty} \exp\left\{i\left(\frac{t^3}{3}+xt\right)\right\} dt.$$

Burada yüksek değerli kabul edeceğimiz bağımsız değişkenimiz $x$, $g(t)=1$ ve faz fonksiyonumuz $\phi(t)=\frac{t^3}{3}+xt$'dir. Öyleyse hesabımıza başlayalım:

$$\phi(t) = \frac{t^{3}}{3}+tx \quad \Rightarrow \quad \phi'(t_0)=t_0^2+x \quad \Rightarrow \quad t_0=\pm i\,x^{1/2}. \tag{19}$$

Durağan fazı bulduğumuza göre her şeyi denklemde yerine yazabiliriz:

$$\operatorname{Ai}(x) \sim \frac{e^{\pm \frac{2}{3}x^{3/2}}}{\pi} \int\limits_{0}^{+\infty} e^{\pm x^{1/2}(t-t_0)^2}dt, \quad x \to \infty. \tag{20}$$

İntegrali de aldığımızda Airy fonksiyonunun asimptotik çözümlerini bulmuş oluruz.

$$\operatorname{Ai}(x) \sim \frac{x^{-1/4}}{2\sqrt{\pi}} e^{\pm \frac{2}{3}x^{3/2}}, \quad x \to \infty. \tag{21}$$

Elde ettiğimiz çözümün ne kadar anlamlı olduğunu anlamak için $\operatorname{Ai}(x)$ grafiği ile asimptotik çözümümüzün grafiğini kıyaslamalı olarak Şekil 7'de inceleyelim.

Burada çarpıcı bir sonuç karşımıza çıkıyor. Asimptotik çözüm için $x$'in çok büyük olması varsayımını yapmıştık. Hatta bu büyüklüğü gösterebilmek için $x \to \infty$ demiştik. Bu sonuçtan anlaşılıyor ki $x=5$, sonsuza yeterince yakın bir sayıdır. Yani asimptotik çözümler, sandığımızdan çok daha güçlü bir şekilde fonksiyonu yakınsar. Konuyu toparlamadan önce elde ettiğimiz çözümde $x \to -x$ alırsak, yani negatif ekseni de dahil edersek, asimptotik çözümümüz ile Airy fonksiyonu kıyaslaması nasıl oluyor Şekil 8 üzerinden inceleyelim.

Böylece, bu derste resürjans teorisinin başlangıç noktası kabul edilen Airy'nin küçük kuşaklar problemini birlikte çözmüş olduk. Peki, bu Airy diferansiyel denklemi sadece gökkuşağı ve küçük kuşak oluşumunu açıklamakta mı kullanılıyor? Cevap: Hayır!

Çağdaş fizik araştırmalarında da Airy diferansiyel denklemi karşımıza çıkmaktadır. Bir örnekle dersimizi sonlandıralım.

9. Airy Diferansiyel Denklemi ve Kuantum Mekaniği

Modern fizik veya kuantum mekaniği almış tüm öğrenciler Schrödinger denklemini bilir. Bu dersleri almamış veya Schrödinger denklemi ile henüz hiç karşılaşmamış okurlarımız için denklemi kısaca yazıp açıklayalım:

$$\left[ -\frac{\hbar^{2}}{2m}\,\frac{d^{2}}{dx^{2}} + V(x) \right]\psi = E\psi. \tag{22}$$

Burada köşeli parantez içindeki ifadeye Hamiltonyen denir ve $\mathcal{H}$ ile gösterilir. Bir not olarak belirtmek gerekir ki fizik bölümü öğrencileri genellikle Hamiltonyen kavramı ile ilk defa teorik mekanik dersinde tanışırlar ve Hamiltonyen her zaman toplam enerjiye eşit değildir. Kuantum mekaniğinde Hamiltonyen, zaman ötelemelerinin üreteci olup sistemin toplam enerjisini temsil eden gözlenebilir niceliktir.

Bir sonlu potansiyel kuyuda parçacık problemini göz önüne alalım (Şekil 9). Temel fizik bilginiz ile cevap verebileceğiniz şu soruyu kısaca düşünün: Böyle bir sistemde parçacık en çok nerede zaman geçirir? Cevap: Kinetik enerjisinin en az olduğu bölgelerde daha fazla zaman geçirir.

Peki kinetik enerji ne zaman minimum değerini alır? Potansiyel enerjinin maksimum değere ulaştığı konumun civarında. Öyleyse, $V(x_0)=E$ koşulunu sağlayan $x_0$ civarında potansiyel enerjiyi Taylor serisine açalım:

$$V(x) \approx E+V'(x_0)(x-x_0), \quad V'(x_0)\neq 0. \tag{23}$$

Taylor serisinin ilk terimini denklemde yerine yazınca $E\psi$ elde edilir. Denklemin sağ tarafında da aynı terim olduğundan, denklem daha basit bir form alır:

$$\left[ -\frac{\hbar^{2}}{2m}\,\frac{d^{2}}{dx^{2}} + V'(x_0)(x-x_0) \right]\psi = 0. \tag{24}$$

Diferansiyel denklemin baş katsayısını bir yaparsak denklem aşağıdaki gibi olur:

$$\frac{d^{2}\psi}{dx^{2}} - \frac{2m}{\hbar^{2}}V'(x_0)(x-x_0)\psi(x) = 0. \tag{25}$$

Denklemi basitleştirebilmek için bir ölçekleme tipi değişken değişimi yapalım (scaling factor), $z := c(x-x_0)$. Burada $c$'nin ne olduğunu denklemin içinden çekeceğiz. Dönüşümü uygularsak:

$$\frac{d^{2}\psi}{dz^{2}} - \frac{2m}{\hbar^{2}c^{3}} V'(x_0)\,z\,\psi(z) = 0. \tag{26}$$

olur. Bu aşamada

$$c^{3} = \frac{2mV'(x_0)}{\hbar^{2}}$$

olarak seçilirse denklemin sadeleşeceği aşikârdır. Bu seçim sonucunda Schrödinger denklemi aşağıdaki diferansiyel denkleme dönüşür:

$$\frac{d^{2}\psi}{dz^{2}} = z\,\psi. \tag{27}$$

Buradan açıkça görüldüğü gibi (2) ve (27) aynı diferansiyel denklemdir. Potansiyel kuyu içinde parçacık için yaptığımız dönme noktası ve minimum kinetik enerji incelemesi JWKB¹ (Jeffrey-Wentzel-Kramers-Brillouin) yaklaşımı olarak bilinmektedir.

10. Gelecek Bölümlerde Neler Var?

Bir sonraki bölümde kompleks analizde tekillik, analitik süreklilik, Riemann yüzeyleri, kalıntı hesabı gibi kavramlara bakacağız. Uygun yerlerde fizik uygulamalarıyla kavramları pekiştireceğiz.

---

Kaynakça

[1] A. B. O'Donnell, The Work of G. G. Stokes in Evaluating the Airy Rainbow Integral and Its Ramifications Today, Ph.D. thesis, Dublin Institute of Technology (1990).

[2] G. H. Hardy, Divergent Series (Clarendon Press, Oxford, 1949).

[3] G. G. Stokes, On the Discontinuity of Arbitrary Constants Which Appear in Divergent Developments, Trans. Cambridge Philos. Soc. 10, 105–128 (1857).

Footnotes

1. Ders kitaplarının çoğunda Jeffrey'den bahsedilmemekte ve bu yaklaşım WKB olarak da anılmaktadır. Jeffrey bu konudaki çalışmaları daha erken yaptığı için JWKB kullanımı daha doğrudur. ↩